Symmetry And Group

A New Group of Dyes from Poison Gases through the by Bogert M.T., Chertcoff M.

By Bogert M.T., Chertcoff M.

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Cela r´esulte du corollaire 3 et des propri´et´es du produit tensoriel d’une extension avec une extension r´eguli`ere (SCC, expos´e 14, proposition 3). Corollaire 5. – Soient E un ensemble alg´ebrique et F un ferm´e de E. S’il existe un ouvert affine U de E tel que U ∩F soit dense dans F , toute fonction rationnelle sur F est la trace d’une fonction rationnelle sur E. Soit f une fonction rationnelle sur F ; on peut ´ecrire f = g/h o` u h = 0 est r´eguli`ere sur F ∩ U et o` u g est r´eguli`ere sur l’ouvert partout dense V (h) de F ∩U .

D´emontrons b) et d´eterminons d’abord la structure de k(E). Posons T = ∩ ∁pi = ∁(∪ pi ). Il est classique que T se compose des non diviseurs de 0 i i dans A. On peut ´enum´erer les composantes irr´eductibles de E de sorte que Ei soit l’ensemble ferm´e associ´e `a l’id´eal pi . Un ´el´ement f de A appartient a T si et seulement s’il n’appartient a` aucun des id´eaux pi , c’est-`a-dire s’il ` n’induit la fonction nulle sur aucun des Ei ; d’apr`es le lemme 3, ceci signifie que l’ouvert V (f ) form´e des x ∈ E avec f (x) = 0 est partout dense dans E.

D´emontrons d’abord un lemme sur la topologie des ensembles alg´ebriques : Lemme 3. – Soient E un ensemble alg´ebrique et Ei ses composantes irr´eductibles. Pour qu’un ouvert U de E soit partout dense, il faut et il suffit qu’il rencontre chaque Ei . Dans ces conditions, U est r´eunion d’un nombre fini d’ouverts affines partout denses Uj et si E est affine, on peut supposer Uj de la forme V (fj ) avec fj ∈ OE (E). Supposons qu’on ait U ∩ Ei = ∅ pour tout i et soit V un ouvert non vide de E. Il y a un indice i0 tel que V ∩ Eio = ∅, d’o` u comme Ei0 est irr´eductible U ∩ V ∩ Ei0 = ∅ et a fortiori U ∩ V = ∅ ; U est donc partout dense.

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